(predavanje pripremljeno za kolegij "m-brojevi" profesora Maria Esserta, 28. listopada 2020. g.)

Nekoliko osnovnih primjera:

\(\mathbb Z_2=\{0,1\}\), \(+_2\) (ostatci pri dijeljenju s \(2\), zbrajanje po modulu \(2\)): \(1+_21=0\)

\begin{array} {c|cc} +_2 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 \\  1 & 1 & 0 \\   \end{array}

\(G_2=\{1,-1\}\), \(\,\cdot\,\) (obično množenje), drugi korijeni iz jedinice, \((-1)(-1)=1\)

\begin{array} {r|rr} \cdot & 1 & -1 \\ \hline 1 & 1 & -1 \\  -1 & -1 & 1 \\   \end{array}

\(S_2=\{e,p\}\), \(\,\circ\,\) (permutacije ili premjestbe dvočlanog skupa \(\{1,2\}\), gdje je

• \(e=(1)(2)\) (tj. \(1\mapsto1\) i \(2\mapsto2\)), a
• \(p=(1,2)\) (tj. \(1\mapsto2\) i \(2\mapsto1\)).

Operacija \(\circ\) je kompozicija bijekcija. Očevidno je \(p\circ p=e\).

\begin{array} {r|rr} \circ & e & p \\ \hline e & e & p \\  p & p & e \\   \end{array}

Simetrije jednakokračnog trokuta koji nije jednakostraničan, s obzirom na kompoziciju. Simetrije su identiteta \(id\) i osna simetrija \(s\). Očevidno je \(s\circ s=id\). Simetrije gledamo kao gibanja trokuta u samog sebe (izometrička preslikavanja, tj. čuvaju udaljenost između točaka prije i poslije preslikavanja). Gibanje - engl. rigid motion.

\begin{array} {c|cc} \circ & id & s \\ \hline id & id & s \\  s & s & id \\   \end{array}

Mogli smo gledati i simetrije skupa sastavljenog od dviju različitih točaka B i C u ravnini, u odnosu na središnju točku D (polovište dužine BC).

\(\mathbf A=-\mathbf I\), dijagonalna matrica reda \(n\) koja na dijagonali ima brojeve \(-1\), s jediničnom matricom \(\mathbf I\), s obzirom na matrično množenje \(\cdot\) :

\begin{array} {c|cc} \cdot & \mathbf I & \mathbf A \\ \hline \mathbf I & \mathbf I & \mathbf A \\  \mathbf A & \mathbf A & \mathbf I \\   \end{array}

Vidimo da se u svim ovim primjerima zapravo radi o jednoj te istoj tablici, samo s vrlo različitim elementima. Iz tog razloga se uvodi pojam grupe, koje sve te primjere obuhvaća kao specijalan slučaj. Pritom važnu ulogu ima pojam izomorfizma grupa, s pomoću kojeg poistovjećujemo razne grupe.

---

Grupa \((G,\circ)\), gdje je \(G\) neprazan skup, a \(\circ:G\times G\to G\) binarna operacija na \(G\), definirana je ovim svojstvima (aksiomima):

• grupoidnost: \((\forall a,b\in G) \,\,a\circ b\in G\)
• asocijativnost: \((\forall a,b,c\in G)\,\, (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)\)
• postojanje neutralnog (jediničnog) elementa: \((\exists e\in G)(\forall a\in G)\,\, a\circ e=e\circ a=a\)
• postojanje inverznog elementa: \((\forall a\in G)(\exists a^{-1}\in G)\,\, a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e\).

Lako se provjeri da postoji jedincati jedinični element u \(G\), te da je inverzni element \(a^{-1}\) jednoznačno određen elementom \(a\in G\).

Ako za sve \(a,b\in G\) vrijedi \((a\circ b=b\circ a\), onda grupu zovemo komutativnom ili Abelovom (u čast Nielsa Abela, norveškog matematičara).

Ako je binarna operacija zapisana aditivno, kao \(+\), onda smatramo da je komutativna. Neutralni element zovemo nul-elementom, \(e= 0\), a inverzni element od \(a\) pišemo kao suprotni element, \(-a\). Za zadani prirodan broj \(n\), u multiplikativnoj grupi elementu \(a^n:=a\cdot\cdots a\) odgovara u aditivnoj grupi \(na:=a+\cdots+a\).

Za odabrani element \(g\in G\), definiramo cikličku grupu generiranu s g:

$$\langle g\rangle:=\{g^k:k\in \mathbb Z\}.$$

Najmanji prirodan broj \(n\) (ako postoji) za koji je \(g^n=e\) zove se redom elementa \(g\). Onda je $$\langle g\rangle:=\{e,\,g,\,g^2,\,\dots,\,g^{n-1}\}$$ također grupa (podgrupa grupe \(G\)).

---

Grupoid ili "magma" \((G,\,\circ\,)\): samo grupoidnost

Polugrupa \((G,\,\circ\,)\): grupoidnost i asocijativnost

Monoid \((G,\,\circ\,)\): polugrupa s jedincom \(e=1\).

 

Između pojma polugrupe i grupe stoji i pojam inverzne polugrupe.

---

\(S_3\), grupa permutacija tročlanog skupa, najmanja je nekomutativna grupa (s obzirom na kompoziciju). Ima šest elemenata. Onda je jasno da je za svaki \(n\ge 3\) grupa permutacija \(S_n\) nekomutativna. Njezin red, tj. broj elemenata, je \(n!\). Razlog je taj što se grupa \(S_3\) može na prirodan način uložiti u grupu \(S_n\). Time smo dobili beskonačno mnogo nekomutativnih (ili neabelovih) grupa.

---

Kartezijev produkt \(G\times H\) dviju grupa \(G\) i \(H\) se definira kao

$$G\times H:=\{(g,h): g\in G,\,\,h\in H\}.$$

Elemente grupe \(G\times H\) po definiciji množimo po komponentama:

$$(g_1,h_1)\cdot(g_2,h_2)=(g_1\cdot g_2,h_1\cdot h_2).$$

Odatle se lako vidi da mora biti \((g,h)^{-1}=(g^{-1},h^{-1})\).

Ako su \(G\) i \(H\) podgrupe grupe \(K\), onda je i njihov presjek \(G\cap H\) također podgrupa od \(K\).

Neka je \(G\) zadana grupa. Za podskup \(H\) grupe \(G\) kažemo da je podgrupa grupe \(G\), ako je \(H\) grupa s obzirom na operaciju množenja naslijeđenu iz grupe \(G\). Pišemo \(H\le G\).

• \(H\) je podgrupa od \(G\) onda i samo onda ako vrijedi uvjet \(h_1h_2^{-1}\) za sve \(h_1,h_1\in H\);  naime, tim uvjetom je uz \(h\in H\) osigurno da je \(hh^{-1}=e\in H\), a onda također i \(h^{-1}=eh^{-1}\in H\); ako su \(h_1,h_2\in G\), onda je i \(h_2^{-1}\in G\), pa je \(h_1h_2=h_1(h_2^{-1})^{-1}\in H\), čime je pokazana grupoidnost u \(H\); asocijativnost je u \(H\) naslijeđena iz grupe \(G\);
• uvijek je \(|H|\) djelitelj od \(|G|\) (Lagrangeov teorem);
• na primjer, ako je \(G\) konačna grupa, onda  je \(\langle g\rangle\) podgrupa grupe \(G\) za svaki \(g\in G\), a red elementa \(g\) je djelitelj od \(|G|\).

Trivijalne podgrupe od \(G\) su \(\{e\}\) i \(G\).

Prava podgrupa \(H\) grupe \(G\) je po definiciji ona podgrupa od \(G\) koja je netrivijalna, tj. \(H\ne\{1\}\) i \(H\ne G\). 

Ako su \(H\) i \(K\) podgrupe grupe \(G\), onda je i njihov presjek \(H\cap K\) podgrupa od \(G\).

Normalna podgrupa \(H\unlhd G\) je ona za koju vrijedi \(gH=Hg\) za sve \(g\in G\); pritom definiramo \(gH:=\{gh:h\in H\}\) i \(Hg:=\{hg:h\in H\}\)

Kvocjentna grupa \(G/H\) po normalnoj podgrupi \(H\)) definira se ovako:

$$G/H=\{gH:g\in G\},\quad (g_1H)\cdot(g_2H):=(g_1\cdot g_2)H$$

Element \(gH\) kvocijentne grupe \(G/H\) definira se kao \(gH:=\{gh:h\in H\}\). Taj element je zapravo razred ekvivalencije po relaciji \(\rho\) na skupu \(G\) definiranoj s \(g_1\,\rho\, g_2\) onda i samo onda ako je \(g_1g_2^{-1}\in H\). Kvocijentni skup \(G/\rho\) po toj relaciji je upravo skup svih razreda oblika \(gH\), gdje je \(g\in G\). Kao što vidimo, u grupi \(G/H\) množimo razrede ekvivalencije.

Kvocjentna grupa \(G/H\) ima \(|G|/|H|\) elemenata, tj. \(|G/H|=|G|/|H|\).

Trivijalne normalne podgrupe od \(G\) su \(\{e\}\) i \(G\).

Jednostavna grupa (simple group) \(G\) je ona koja nema netrivijalnih normalnih podgrupa.

---

Homomorfizam \(f:G\to H\) je funkcija sa svojstvom \(f(g_1g_2)=f(g_1)f(g_2)\). Onda mora biti \(f(g^{-1})=f(g)^{-1}\) i \(f(e_G)=e_H\).

• Monomorfizam \(f:G\to H\) je injektivni homomorfizam (i može se shvatiti kao ulaganje prve grupe u drugu; naime, \(G\) se može poistovjetiti s \(f(G)\), a \(f(G)\le H\)).
• Epimorfizam je surjektivni  homomorfizam.

 

Izomorfizam dviju grupa \(G\) i \(H\) je homomorfizam koji je bijektivan. Ako postoji izomorfizam između dviju grupa, kažemo da su grupe međusobno izomorfne. Izomorfne grupe poistovjećujemo, tj. smatramo da se radi o jednoj te istoj grupi.

Ako su grupe \(G\) i \(H\) konačne, onda imaju isti broj elemenata, i postoji permutacija grupe \(H\), čija tablica množenja će biti "ista" kao i tablica množenja za grupu \(G\). Točnije, tablica množenja u grupi \(G\),

\begin{array} {c|cccc} \circ & \phantom{f(}e\phantom{)} & \dots & \phantom{f(}g_1\phantom{)}  & \dots & \phantom{f(}g_2\phantom{)} & \dots \\ \hline  \phantom{f(}e\phantom{)} & & &  & & \vdots & \\ \vdots &  &  & &  & \vdots& \\ \phantom{f(}g_1\phantom{)} &\cdots  &\cdots  &\cdots &\cdots & \phantom{f(}g_1g_2\phantom{)}  &   \\ \vdots &  &  & & &  & \\ \phantom{f(}g_2\phantom{)} & &  &  &  & &  \\ \vdots &  &  &  &  & & \end{array}

se izomorfizmom \(f:G\to H\) preslika u tablicu množenja u grupi \(H\):

\begin{array} {c|cccc} \circ & f(e) & \dots & f(g_1)  & \dots & f(g_2) & \dots \\ \hline  f(e) & & &  & & \vdots & \\ \vdots &  &  & &  & \vdots & \\ f(g_1) & \cdots  & \cdots  & \cdots & \cdots & f(g_1)f(g_2)  &   \\ \vdots &  &  & & &  & \\ f(g_2) & &  &  &  & &  \\ \vdots &  &  &  &  & & \end{array}

Primijetite da na mjestu gdje je \(f(g_1)f(g_2)\) stoji upravo \(f(g_1g_2)\), pa su u tom smislu gornje dvije tablice množenja doista iste.

Vrijedi i obrat: ako dvije konačne grupe \(G\) i \(H\) imaju nakon odgovarajuće permutacije elemenata grupe \(H\) "iste" tablice množenja, onda su one izomorfne. Izomorfizam iz \(G\) u \(H\) je definiran spomenutom permutacijom.

 

Teorem (Cayley). Svaka konačna grupa \(G\) reda \(n\) (tj. s \(n\) elemenata) se do na izomorfizam može uložiti u grupu permutacija \(S_n\) skupa od \(n\) elemenata. Točnije, postoji prirodni monomorfizam (tj. injektivni homomorfizam) iz \(G\) u \(S_n\).

Jasno je da pritom grupu \(G\) postovjećujemo s podgrupom \(f(G)\) grupe permutacija \(S_n\), jer je \(f:G\to f(G)\) izomorfizam (tj. bijektivni homomorfizam).

Time se proučavanje svih konačnih grupa svodi na proučavanje grupa permutacija. Taj prirodni monomorfizam elementu \(g\in G\) pridružuje permutaciju \(g(g_1,\dots,g_n):=(gg_1,\dots,gg_n)\) poredanog \(n\)-terca \(g_1,\dots,g_n\) svih elemenata grupe \(G\). Vrlo lako je vidjeti da je funkcija \(f_g:G\to G\) definirana s \(f(g_k)=gg_k\) (gdje \(k=1,\dots, n\)) bijekcija, tj. permutacija skupa \(G\).

Pogledajmo broj elemenata nekoliko prvih grupa permutacija \(S_n\), kao i broj umnožaka (kompozicija) u pripadajućoj Cayleyevoj tablici:

\begin{array} {c|ccc} n & |S_n|=n! & |S_n|^2=(n!)^2\\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 36 \\ 4 & 24 & 576  \\ 5 & 120 & 14\,400 \\  6 &  720 &  518\,400 \end{array}

Jezgra \(\ker f=f^{-1}(1)\) homorfizma \(f:(G,\,\cdot\,)\to (H,\,\cdot\,)\) je normalna podgrupa od \(G\);  slika \(f(G)\) je podgrupa od \(H\). Ako je grupa \(H\) aditivna, tj. \((H,\,+\,)\), onda je naravno \(\ker f=f^{-1}(0)\).

Teoremi o izomorfizmu grupa: ako je \(f:G\to H\) homomorfizam, onda je kvocijentna grupa \(G/\ker f\) izomorfna s grupom \(f(G)\) sadržanom u \(H\). Prirodan izomorfizam \(F:G/\ker f\to f(G)\) je dan sa $$F(g\cdot \ker f)=f(g).$$

Vrlo je lako provjeriti da je fukcija \(f\) dobro definirana: ako je \(g_1\cdot \ker f=g_1\cdot \ker f\), onda je \(g_1g_2^{-1}\in \ker f\), pa je \(f(g_1)=f(g_2)\).

Sylowljevi teoremi (Sylow). Na primjer, ako je \(|G|=p_1^{\alpha_1}\dots p_k^{\alpha_k}\), onda za svaki faktor \(p_k^{\alpha_k}\) broja \(n\) postoji podgrupa s tim brojem elemenata. Ta se podgrupa zove Sylowljeva podgrupa.


Problem klasifikacije konačnih grupa: klasifikacija konačnih grupa do na izomorfizam

 

Za svaki prirodan broj \(n\) postoji barem jedna grupa \(G\) tog reda:  (za \(n\ge 2\))

• grupa ostataka pri dijeljenju cijelog broja s \(n\)), \(G=\mathbb Z_n=\{0,1,\dots,n-1\}\)
• grupa \(n\)-tih korijena iz jedinice, \(G=G_n=\{1,\varepsilon,\dots,\varepsilon^{n-1}\}\), gdje je \( \varepsilon=\cos\frac{2\pi}n+i\sin\frac{2\pi}n\) 

Sve cikličke grupe su (do na izomorfizam) ove:

• konačne: \(\mathbb Z_n=\{0,1,\dots,n-1\}\),
• beskonačne:  \(\mathbb Z=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\)

---

Najmanja grupa koja nije ciklička je Kleinova grupa: \(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2=\{ (0,0),\,\, (0,1),\,\, (1,0),\,\, (1,1) \}\)

\begin{array} {c|cccc} + & (0,0) & (0,1) & (1,0)  & (1,1) \\ \hline  (0,0) & (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ (0,1) & (0,1) & (0,0) & (1,1) & (1,0) \\ (1,0) & (1,0) & (1,1) &(0,0)& (0,1) \\ (1,1) & (1,1) & (1,0) & (0,1)  & (0,0)\end{array}

Ili u geometrijskoj realizaciji, skup svih gibanja zadanog pravokutnika (koji nije kvadrat) u samog sebe: identiteta \(id\), simetrija \(s_x\) s obzirom na vodoravnu os, simetrija \(s_y\) s obzirom na okomitu os, rotacija \(r\) za \(180^{\circ}\) oko središta.

\begin{array} {c|cccc} \circ & id & s_x & s_y  & r \\ \hline  id & id & s_x & s_y & r \\ s_x & s_x & id & r & s_y \\ s_y & s_y & r &id& s_x \\ r & r & s_y & s_x  & id\end{array}

 

Kleinova grupa \((\{\mathbf 1,\,\,\mathbf D,\,\,\mathbf E,\,\,\mathbf F\},\,\circ\,)\) u teoriji jorbova (tj. u m-brojevima):

\begin{array} {c|cccc} \circ &\mathbf 1  &\mathbf D  &\mathbf E  &\mathbf F \\ \hline  \mathbf 1 &\mathbf 1 &\mathbf D &\mathbf E &\mathbf F \\ \mathbf D &\mathbf D &\mathbf 1 & \mathbf E &\mathbf F \\  \mathbf E &\mathbf E &\mathbf F &\mathbf 1 &\mathbf D \\ \mathbf F &\mathbf F &\mathbf E &\mathbf D  &\mathbf 1\end{array}

Podsjetimo što su funkcije \(\mathbf 1\), \(\mathbf D\),  \(\mathbf E\) i \(\mathbf F\) . Krećemo od lanca \((\Gamma,<_{\Gamma})\) s konačnom m-abecedom $$\Gamma=\{\gamma_1,\dots,\gamma_{n_0}\}.$$

Elemente skupa \(\Gamma\) zovemo slovima.

Definiramo skup riječi duljine \(k\), tj. riječi koje se sastoje od točno \(k\) slova abecede (poredak slova u riječi je bitan):

\(\Gamma^k:=\{s_1\cdots s_k:s_1,\dots,s_k\in\Gamma\}\), skup svih riječi duljine \(k\), sastoji se od ukupno \((n_0)^k\) riječi. Pritom je \(s_i\) bilo koje slovo iz abecede \(\Gamma\), tj. ne nužno jednako \(\gamma_i\).

Skup \(M_{\Gamma}\) svih riječi parne duljine ima beskonačno mnogo elemenata (taj skup je polugrupa s obzirom na konkatenaciju, tj. nadovezivanje):

$$M_{\Gamma}:=\Gamma^2\cup\Gamma^4\cup\Gamma^6\cup\dots=\bigcup_{n=1}^{\infty}\Gamma^{2n}$$

\(\mathbf 1:M_{\Gamma}\to M_{\Gamma}\), identiteta, tj. \(\mathbf 1(s_1s_2\cdots s_{2n-1}s_{2n}):=s_1 s_2\cdots s_{2n-1} s_{2n}\), za sve \(n\in\mathbb N\)

\(\mathbf D:M_{\Gamma}\to M_{\Gamma}\), \(\mathbf D(s_1s_2\cdots s_{2n-1}s_{2n}):= s_1' s_2'\cdots s_{2n-1}' s_{2n}'\), za sve \(n\in\mathbb N\), pri čemu za bilo koji \(s_j=\gamma_i\in\Gamma\) stavljamo \( s_j'=\gamma_i':=\gamma_{n_0+1-i}\). Drugim riječima, element \(\gamma_i'\) je u azbuci \(\Gamma\) na zrcalno simetričnom položaju elementu \(\gamma_i\) u odnosu na "središnje mjesto" azbuke, koje odgovara "indeksu"  \(\frac{n_0+1}2\); doista, primijetite da je \(\frac{i+(n_0-i+1)}2=\frac{n_0+1}2\).

\(\mathbf E:M_{\Gamma}\to M_{\Gamma}\), \(\mathbf E(s_1s_2\cdots s_{2n-1}s_{2n}):=s_{2n}s_{2n-1}\cdots s_2s_1\) za sve \(n\in\mathbb N\)

\(\mathbf F:M_{\Gamma}\to M_{\Gamma}\), \(\mathbf F:=\mathbf D\circ\mathbf E\), tj. \(\mathbf F(s_1s_2\cdots s_{2n-1}s_{2n})=s_{2n}' s_{2n-1}'\cdots s_2's_1'\), za sve \(n\in \mathbb N\)

 

Poseban predmet proučavanja konačnih grupa su grupe \(G \) reda \(p^n\), tj.   \(|G|=p^n\), pri čemu je \(p\) prost broj. Time su se puno bavili prof. Berkovich iz Izraela i istaknuti hrvatski matematičar Zvonimir Janko, koji su na tu temu objavili nekoliko opsežnih monografija (Groups of prime power order, Vol. 1-6). Primjeri za \(p=2\) su grupe reda \(2^2\): ciklička grupa \(\mathbb Z_4\) i Kleinova grupa \(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\).

---

Binet-Cauchyjev teorem za umnožak kvadratnih matrica istog reda:

$$\det(AB)=\det A\,\cdot\,\det B.$$

Posebno, determinanta je homomorfizam iz multiplikativne grupe svih regularnih matrica istog reda u multiplikativnu grupu \(\mathbb R\setminus\{0\}\).

Jezgra determinante, tj. \(\det^{-1}(1)\) je skup svih kvadratnih matrica reda \(n\) determinante \(1\) (tzv. specijalna linearna grupa \(SL(n)\)).

---

Neke beskonačne grupe

• \((\mathbb Z,+)\)
• \((\mathbb Q,+)\)
• \((\mathbb R,+)\), \((0,+\infty),\,\cdot\,\) (grupe su izomorfne na primjer putem eksponencijalne funkcije \(f(x)= e^x\), jer je to izomorfizam: \(f(x+y)=f(x)f(y)\))
• \(\mathbb R\setminus\{0\}.\,\cdot\,\)
• \(S^1\) - grupa jedinične kružnice u kompleksnoj (Gaussovoj ravnini), obzirom na množenje, sadrži sve grupe \(n\)-tih korijena iz jedinice kao svoje podgrupe.

 

Neke grupe matrica s obzirom na množenje: grupe regularnih matrica, ortogonalnih matrica, grupa matrica determinante \(1\) (specijalna linearna grupa - čuva volumen i orijentaciju), specijalna ortogonalna grupa:

$$GL(n,\mathbb R),\quad O(n,\mathbb R),\quad SL(n,\mathbb R),\quad SO(n,\mathbb R )\\
GL(n,\mathbb C),\quad U(n,\mathbb C),\quad SL(n,\mathbb C), \quad SU(n,\mathbb C )$$
\((F,+,\cdot)\) bilo koje polje (konačno ili beskonačno)
$$GL(n,F),\quad SL(n,F)$$

 

Polje \((F,+,\,\cdot\,)\), gdje su \(+\) i \(\,\cdot\,\) binarne operacije na skupu \(F\), je definirano s ovim zahtjevima:

• \((F,+)\) je aditivna Abelova grupa
• \((F\setminus\{0\},\,\cdot\,)\) multiplikativna Abelova grupa
• vrijedi zakon distribucije množenja s obzirom na zbrajanje.

Na primjer,

• \(F=\mathbb Z_p\) je polje (s obzirom na zbrajanje i množenje po modulu \(p\)) onda i samo onda ako je \(p\) prost broj
• Galoisova polja \(F=GF(p^n)\), gdje je \(p\) prost broj.

Po broju elemenata, najmanje je polje \(\mathbb Z_2\).

Skup \(\mathbb Z_4\) nije polje s obzirom na zbrajanje po modolu \(4\), jer u tom skupu je \(2\cdot_4 2=0\), pa \(\mathbb Z_4\setminus\{0\}\) nije čak niti grupoid s obzirom na množenje.

---

Prsteni i ideali (lijevi i desni)

 

Prsten \((R,+,\,\cdot\,)\) gdje su \(+\) i \(\,\cdot\,\) binarne operacije na skupu \(R\), je definiran s ovim zahtjevima

• \((R,+)\) je aditivna Abelova grupa
• \((R,\,\cdot\,)\) je polugrupa (tj. vrijede grupoidnost i asocijativnost s obzirom na množenje)
• vrijedi zakon distribucije množenja s obzirom na zbrajanje.

Za prsten \(R\) kažemo da je komutativan, ako vrijedi \(ab=ba\) za sve \(a,b\in R\).

Za prsten \(R\) kažemo da je prsten s jedinicom ako postoji \(e\) takav da za sve \(a\in R\) vrijedi \(ea=ae=a\).

Svako polje je prsten.

Evo nekoliko komutativnih prstena:

• \((\mathbb Z,+,\,\cdot\,)\) je komutativan prsten cijelih brojeva, ali nije polje (jer na primjer \(2\) nema multiplikativnog inverza u \(R\))
• \((\mathbb Z_n,+_n,\,\cdot_n\,)\), gdje je \(n\) prirodan broj, \(\mathbb Z_n:=\{0,1,\dots,n-1\}\), je prsten s obzirom na zbrajanje i množenje po modulu \(n\) (prsten ostataka po modulu \(n\)). Taj prsten je polje onda i samo onda ako je \(n\) prost broj
• \((R[x],+,\,\cdot\,)\) je komutativan prsten polinoma, gdje je \(R[x]\) skup formalnih polinoma s koeficijentima iz prstena \(R\)

 

Nekoliko nekomutativnih prstenova:

• prsten svih kvadratnih matrica (nad poljem \(\mathbb R\) ili \(\mathbb C\) zadanog reda \(n\ge2\) je nekomutativan prsten matrica s obzirom na zbrajanje i množenja matrica. Isto vrijedi i za prsten matrica reda \(n\ge2\) nad bilo kojim poljem \(F\) (tj. s koeficijentima iz tog polja)
• prsten svih linearnih operatora \(A:X\to X\), gdje je \(X\) zadani vektorski prostor (barem dvodimenzionalan, nad poljem \(F\)), obzirom na zbrajanje linearnih operatora i kompoziciju kao množenje. Zove se još i prstenom endomorfizama iz Ovaj se prsten može poistovjetiti s predhodnim primjerom prstena matrica reda \(n=\dim X\ge2\).

 

Podprsten \((P,+,\,\cdot\,)\) prstena \((R,+,\,\cdot\,)\) se definira kao podskup \(P\) sadržan u \(R\),  koji je prsten s obzirom na binarne operacije \(+\) i \(\,\cdot\,\)  naslijeđene iz \(R\).

Trivijalni podprsteni prstena \(R\) su \{0\} i \(G\).

Na primjer, za bilo koji prirodan broj \(n\ge2\), skup \((n\mathbb Z,+,\,\cdot\,)\) je pravi podprsten prstena \((\mathbb Z,+,\,\cdot\,)\). Podprsten \(n\mathbb Z\) čine svi cijeli brojevi djeljivi s \(n\).

Za podprsten \((I,+,\,\cdot\,)\) prstena  \((R,+,\,\cdot\,)\) kažemo da je lijevi ideal u \(R\), ako vrijedi

$$(\forall r\in R)\,\,rI\subseteq I$$

Za podprsten \(I\) prstena \(R\) kažemo da je desni ideal, ako je \((\forall r\in R)\,\,Ir\subseteq I\).

Označimo \(RI:=\cup_{r\in R}rI\) i  \(IR:=\cup_{r\in R}Ir\). Podprsten \(I\) prstena \(R\) je lijevi ideal ako je \(RI\subseteq I\), a desni ako je \(IR\subseteq I\)

 

Za podprsten \(I\) prstena \(R\) kažemo da je (obostrani) ideal, ako je istodobno i lijevi i desni ideal.

Na primjer, prsten parnih cijelih brojeva \(2\mathbb Z\) je ideal u prstenu cijelih brojeva \(\mathbb Z\). Doista, umnožak bilo kojeg cijelog broja \(r\) s parnim brojem je paran broj.

Općenitije, \(n\mathbb Z\) je ideal prstena \(\mathbb Z\), kojeg čine svi cijeli brojevi djeljivi sa zadanim prirodnim brojem \(n\).

Za ideal \(I\) u prstenu \(R\) kažemo da je glavni (lijevi) ideal, ako je oblika \(I=aR\), za neki \(a\in R\). Glavni desni ideal \(I\) je po definiciji oblika \(I=Rb\), za neki \(b\in R\).

Za netrivijalan ideal \(I\) u prstenu \(R\) kažemo da je maksimalan ideal, ako ne postoji netrivijalan ideal \(J\) u \(R\) (tj. \(J\) je pravi podskup od \(R\)), različit od \(I\), takav da sadrži \(I\). Grubo rečeno, ideal  \(I\) je maksimalan, ako ne postoji ideal \(J\) koji je strogo "između" \(I\) i \(R\).

Za prsten \(R\) kažemo da je prsten glavnih ideala, ako su svi ideali u njemu glavni.

Prsten \(\mathbb Z\) je prsten glavnih ideala, jer svi njegovi podprsteni su glavni ideali (tj. oblika \(n\mathbb Z\)), gdje je \(n\in\mathbb N\). 

Podprsten \(n\in\mathbb Z\) prstena \(\mathbb Z\) je maksimalan  onda i samo onda ako je \(n\) prost broj.

Ta tvrdnja je dosta jasna. Na primjer, podprsten  \(6\in\mathbb Z\) je sadržan u podprstenu  \(3\in\mathbb Z\), a ovaj zadnji je maksimalan.

Homomorfiazma dvaju prstena \(R\) i \(S\) (svaki sa svojim množenjem i zbrajanjem) je preslikavanje \(f:R\to H\) koje je homomorfizam i s obzirom na zbrajanje i s obzirom na množenje, tj.

$$f(r_1+r_2)=f(r_1)+f(r_2),\quad f(r_1\cdot r_2)=f(r_1)\cdot f(r_2),quad\forall r_1,r_2\in R$$

Ako je pritom \(f\) bijekcija, onda \(f\) zovemo izomorfizmom prstena \(R\) i \(S\). Za prstene \(R\) i \(S\) onda kažemo da su izomorfni prsteni. Izomorfne prstene poistovjećujemo.

 

Presjek podprstena je opet podprsten. Na primjer u prstenu cijelih brojeva, presjek podprstena  \(3\mathbb Z\) i  \(2\mathbb Z\) je  podprsten \(6\mathbb Z\). Općenitije, presjek podprstena \(m\mathbb Z\) i  \(n\mathbb Z\) je  podprsten \(nzv(m,n)\mathbb Z\), gdje je \(nzv(m,n)\) najmanji zajednički višekratnik prirodnih brojeva \(m\) i \(n\).

Ako je \(I\) dvostrani ideal u prstenu \(R\), onda možemo definirati kvocijentni prsten \(R/I\):

$$R/I:=\{r+I:r\in R\}$$

svaka dva elementa \(r_1+I\) i \(r_2+I\) su ili jednaki (kao skupovi) ili disjunktni. Zbrajanje i množenje elemenata u kvocijentnom prstenu obavlja se na prirodan način:

$$(r_1+I)+(r_2+I):=(r_1+r_2)+I,\quad (r_1+I)\cdot(r_2+I):=(r_1\cdot r_2)+I$$

Pokazuje se da su ove definicije dobre, tj. ne ovise o izboru elementa \(r\) koji definira razred \(r+I\). Naravno, sva svojstva prsten su ispunjena i u kvocijentnom prstenu. Nadalje, ako je prsten \(R\) komutativan (s obzirom na množenje), onda je i kvocijentni prsten \(R/I\) komutativan.

Teorem. Ako je ideal \(I\) u komutativnom prstenu s jedinicom \(R\) maksimalan, onda je kvocijentni prsten \(R/I\) polje.

Na primjer, \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) je prsten, izomorfan (kao prsten) prstenu \(\mathbb Z_n\).

Ako je \(p\) prost broj, onda je \(n\mathbb Z\) maksimalan ideal u prstenu cijelih brojeva \(\mathbb Z\), pa je kvocijentni prsten $$\mathbb Z/p\mathbb Z=\{0+p\mathbb Z,\,\,1+p\mathbb Z,\dots,\,\,(p-1)+p\mathbb Z\}$$ polje (prema gornjem teoremu). Na primjer, element \(1+p\mathbb Z\) kvocijentnog polja \(\mathbb Z/p\mathbb Z\) sadrži sve cijele brojeve koji pri dijeljenju s \(p\) daju ostatak \(1\) (i slično za ostale ostatke od \(0\) do \(p-1\)). Zato se polje \(\mathbb Z/p\mathbb Z\) zove poljem ostataka pri dijeljenju cijelih brojeva s prim brojem \(p\)  Vrlo lako je vidjeti da je to polje izomorfno s poljem \(\mathbb Z_p=\{0,1,\dots,p-1\}\).

 

---

Topološke grupe \((G,\,\cdot\,)\): grupe na kojima su operacije množenja i invertiranja neprekinute (na skupu \(G\) mora biti definiran odgovarajući sustav otvorenih okolina, tzv. topologija na \(G\)). Prvo značajno ime u tom području je Lav S. Pontrjagin, koji je proučio dualne grupe \(G^*\) (značajno djelo Nepreryvnye grupy, prevedena je i na engleski, napisao ju je s 30 g.). Slijep je od svoje 14. godine.

Bavio se i s algebarskom topologijom, dinamičkim sustavima, teorijom optimalnog upravljanja. Veoma je poznato njegovo djelo (s tri suradnika: Boltyanski, Gamkrelidze, Miščenko) Matematičeskaja teorija optimalnyh processov, Moskva 1961. Amerikanci su odmah iduće 1962. g. tu značajnu monografiju preveli na engleski.

---

U Hrvatskoj:

• doc. dr. Franka Bruckler (kristalografske grupe u kemiji), Matematički odsjek PMF-a Sveučilišta u Zagrebu
• akademik Marko Tadić (teorija reprezentacija grupa), Matematički odsjek PMF-a Sveučilišta u Zagrebu
• akademik Zvonimir Janko (konačne grupe - sporadične grupe \(J_1\), \(J_2\), \(J_3\), \(J_4\), Enormni teorem, p-grupe), Sveučilište u Heidelbergu

Monografija A. A. Ivanov: "\(J_4\)" (The Fourth Janko Group), Oxford Mathematial Monographs, 2004

---

Grupe regularnih matrica, za \(n\ge2\) nekomutativne: \(GL(n,\mathbb R)\)

Polugrupe kvadratnih matrica (ne nužno regularnih)

grupni prsten

Polya Redfildova teorija

Matrične transformacije ravnine ili ovdje.

---

Dinamički sustavi

---

Sažeta povijest teorije grupa. Teorija grupa započinje svoj razvoj već u u 18. st. sa Lagrangeom, te osobito u 19 st. kada temelje te teorije postavljaju Galois, Cauchy, Abel, Lie, Klein, Mathieu, Sylow, Cayley i mnogi drugi. Cayley je prvi dao opću definiciju konačne grupe 1854. g. Opširnije.

 

Za vježbu (vještbu), do na izomorfizam opisati sve grupe:

• reda \(3\) (samo jedna, ciklička grupa \(\mathbb Z_3\), ili grupa trećih korijena iz jedinice u \(G_3\))
• reda \(4\) (ciklička grupa \(\mathbb Z_4\) i Kleinova grupa \(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\)); Kleinova grupa je najmanja grupa koja nije ciklička
• Odredite sve prave podgrupe Kleinove grupe \(\{\mathbf I,\,\mathbf D,\,\mathbf E,\,\mathbf F\}\) (u terminima teorije jorbova). Pozor: ima ih tri! Jesu li one međusobno izomorfne?
• reda \(5\) (samo jedna - ciklička grupa \(\mathbb Z_5\))
• reda \(6\) (dvije grupe: ciklička grupa \(\mathbb Z_6\), grupa permutacija \(S_3\)); grupa \(\mathbb Z_2\times \mathbb Z_3\) je izomorfna s grupom \(\mathbb Z_6\) (provjerite); i općenitije, \(\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n\) je izomorfna s \(\mathbb Z_{mn}\) onda i samo onda ako su brojevi \(m\) i \(n\) relativno prosti (tj. jedini zajednički djelitelj im je \(1\)); na primjer, Kleinova grupa \(\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\) nije izomorfna s cikličkom grupom \(\mathbb Z_{4}\); grupa permutacija \(S_3\) je najmanja grupa koja nije komutativna
• Objasnite zašto je grupa \(S_3\) nekomutativna. Naputak: napravite tablicu množenja (točnije, komponiranja)

 

U pripremi ovog članka korištena su tri tipografska alata: html, \(\LaTeX\) i MathJax.